Решение тригонометрических уравнений требует знания основных формул тригонометрии — сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью «Основные тригонометрические формулы».
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.

Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.

Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

1. 1. Метод замены переменной и подстановки

Пример.

Решить уравнение 2cos² (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Используя формулы приведения получим:

2cos² (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:

2y² – 3y + 1 + 0

Корни которого y₁ = 1, y₂ = 1/2

Теперь идем в обратном порядке

cos(x + /6) = y

Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:

1. 1. 1. cos(x + /6) = 1x + /6 = 2 k

         x₁ = —  /6 + 2 k

      2. cos(x + /6) = ?x + /6 = ±arccos 1/2 + 2 k

         x₂ = ±  /3 —  /6+ 2 k

   2. Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители

Пример.

Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?

Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:

sin x + cos x – 1 = 0

Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:

sin x — 2 sin² (x/2) = 0

Делаем разложение на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) — 2 sin² (x/2) = 0

2sin(x/2) * [cos(x/2) — sin(x/2)] = 0

Получаем два уравнения

1. 1. 1. 2sin(x/2) = 0Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого

         х/2 =  k

         x₁ = 2  k

      2. cos(x/2) — sin(x/2) = 0Это уравнение является однородным и решается третьим методом, который мы рассмотрим ниже.

         Делим уравнение на cos(x/2) и получаем опять же простейшее тригонометрическое уравнение:

         1 — tg(x/2) = 0

         tg(x/2) = 1

         x/2 = arctg 1 +  k

         x/2 =  /4+  k

         x₂ =  /2+ 2 k

   2. Приведение к однородному уравнению

Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:

а) переносят все его члены в левую часть;

б) выносят все общие множители за скобки;

в) приравнивают все множители и скобки к 0;

г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;

д) решают полученное уравнение относительно tg.

Пример.

Решить уравнение 3sin²x + 4 sin x • cos x + 5 cos²x = 2

Воспользуемся формулой sin² x + cos² x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:

3sin²x + 4 sin x • cos x + 5 cos x = 2sin²x + 2cos²x

sin²x + 4 sin x • cos x + 3 cos²x = 0

Делим на cos x:

tg²x + 4 tg x + 3 = 0

Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:

y² + 4y +3 = 0, корни которого y₁=1, y₂ = 3

Отсюда находим два решения исходного уравнения:

1) tg x = –1

x₁ =  /4+  k

2) tg x = –3

x₂ = arctg 3 +  k

1. 1. Решение уравнений, через переход к половинному углу

Пример.

Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7

Переходим к x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos² (x/2) + 5sin² (x/2) = 7sin² (x/2) + 7cos² (x/2)

Пререносим все влево:

2sin² (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos² (x/2) = 0

Делим на cos(x/2):

tg² (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Ну а дальше уже по отработанной схеме …

1. 1. Введение вспомогательного угла

Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.

Обе части уравнения разделим на :

Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos  и sin , где  – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:

cos  * sin x + sin  * cos x = С

или sin(x + ) = C

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет

х = (-1) ^k * arcsin С —  +  k, где

Следует отметить, что обозначения cos  и sin  взаимозаменяемые.

Пример.

Решить уравнение  sin 3x – cos 3x = 1

В этом уравнении коэффициенты:

а = , b = -1, поэтому делим обе части на  = 2

(/2) * sin 3x – (1/2)cos 3x = 1/2

cos( /6) * sin 3x – sin( /6) * cos 3x =1/2

sin(3x –  /6) = 1/2

Получаем ответ

x = (-1) ^k *  /18 +  /18 +  k/3

1. 1. Преобразование произведения в сумму

Здесь мы будем просто использовать тригонометрические формулы

Пример.

Решить уравнение 2 sin x * sin 3x = cos 4x

Левую часть преобразуем в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x

Получаем простейшее уравнение:

cos 8x = 0

8x =  /2 +  k

x =  /16 +  k/8

1. 1. Универсальная подстановка

Пример.

Решить тригонометрическое уравнение 3sin x – 4cos x = 3

Здесь возможны 2 случая:

1. 1. x  (2k + 1)  ,
      тогда, воспользовавшись тригонометрическими формулами, получим:3[(2tg(x/2))/(1 + tg² (x/2)] — 4[(1 – tg² (x/2))/(1 + tg² (x/2)] = 3

      6tg(x/2) – 4 + 4tg² (x/2) = 3 + 3tg² (x/2)

      tg² (x/2) + 6tg(x/2) – 7 = 0

      Делаем замену tg(x/2) на y и получаем квадратное уравнение:

      y² + 6y -7 = 0

      корни которого y₁ = -7, y₂ = 1

      Идем обратно и получаем два простейших уравнения:

      1) tg(x/2) = -7

      х₁ = -2arctg 7 + 2 k

      2) tg(x/2) = 1

      x₂ =  /2 + 2k

   2. x = (2k + 1)  ,тогда 3sin[(2k +1)  ] – 4cos[(2k + 1)  ] = 4  3

      Получаем – решение имеет только первое условие.

Основные методы решения тригонометрических уравнений, мы рассмотрели. Если у вас остались какие либо вопросы о том, как решать тригонометрические уравнения, задавайте их в комментариях ниже.

Будем рады любым ваших вопросам.