В статье рассмотрим решение неравенств. Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств, на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, <, , . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя — тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) < b(x),
a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) < c(x) < b(x) — двойное неравенство.
Неравенства, содержащие знак > или < , называются строгими, а неравенства, содержащие
 или  — нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
«Решить неравенство» означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств. Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
  + 
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности  всегда выделяется круглой скобкой. Знак  означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
— +
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x [2; +).

Свойства неравенств

Выделяют три основных свойства неравенств:

1. 1. Можно перенести любой член неравенства из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

Пример:
Зх + 5 > х²
равносильно Зх — х² + 5 > 0, при этом x² был перенесен с противоположным знаком.

1. 1. Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, при этом знака неравенства не меняется.

Пример:
9х — 3 > 12х²
равносильно 3х — 1 > 4х², при этом обе части первого неравенства были разделены на положительное число 3.

1. 1. Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный.

Пример:
-2х² — Зх + 1 < 0 равносильно 2х² + Зх — 1 > 0, при этом обе части первого неравенства умножили на отрицательное число -1, и знак неравенства изменился на противоположный.

Решение систем неравенств

Системой называется запись нескольких неравенств, обозначенная фигурной скобкой, при этом количество и вид неравенств, входящих в систему, может быть любым. Решением системы неравенств является пересечение решений всех неравенств, входящих в эту систему. Например, двойное неравенство f(x) < g(x) < h(x) записывается следующим образом:
Пример.

Требуется решить следующую систему неравенств 

Решение:

Система аналогична неравенству х > 1, поэтому ответ: x (1; +).

Решение линейных неравенств

Линейным называется неравенство вида ax>b, при этом знак неравенства может быть любым.
Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .
Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .
Если же a=0, тогда 0*x>b, т.е. неравенство не имеет решений при b0, и верно при любых х при b<0.

Решение квадратных неравенств

Квадратным называется неравенство вида ax² + bx + c > 0, в котром a, b, c – некоторые действительные числа и a0
Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства x² < m и x² > m
Множество решений неравенства x² < m:

1. при m< 0 нет чисел, которые в квадрате дают отрицательное число (т.е. нет решений)
2. при m>0 x (-; ), т.е. — < x <  или <.

Множество решений неравенства x² > m:

1. при m<0 xR (т.е. x — любое действительное число);
2. при m>0 x (-; — )  (; +), т.е. — < x < —  и  < x < + или  > .

Решение более сложных квадратных неравенств сводиться к простому переводу выражения вида
ax² + bx + c > 0
в неравенство
(x-x1)(x-x2) > 0 , где x1 и х2 — корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.
Полученное неравенство мы раскладываем таким же образом на систему простых неравенств и легко находим решение.

Решение неравенств методом интервалов

Методом интервалов можно Формулу Неравества вида h(x) > 0 (<, ,) свести к решению уравнения h(x) = 0.
Данный метод заключается в следующем:

1. Находится ОДЗ неравенства.
2. Неравенство приводится к виду h(x) > 0(<,, ) путем упрощения.
3. Решается уравнение h(x) = 0.
4. Если на ОДЗ отмечены точки, они ограничивают его и разбивают на интервалы знакопостоянства, при этом знак функции h(х) определяется на каждом таком интервале.
5. Решением является объединение отдельных множеств, на которых h(x) имеет соответствующий знак. После дополнительной проверки точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ.

Метод интервалов основывается на том, что непрерывная функция h(x) меняет знак либо в граничных точках «разрыва» на ОДЗ, либо при переходе через 0, т.е. в тех точках, которые являются корнями уравнения h(x) = 0. В других точках перемены знака не происходит.
Пример.
Решить неравенство 
Решение:
ОДЗ:  откуда имеем x [-1; 5)  (5; +)
Решим уравнение 
Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения. Отметим найденный корень на числовой прямой (черным кружком, т.к. неравенство нестрогое), предварительно отметив ОДЗ:

Чтобы определить знак на промежутке (-1; 5) возьмем число 0, 
Чтобы определить знак на втором промежутке возьмем число 8, 
Точки 0 и 8 выбирались произвольно, но так, чтобы упростить процесс вычисления каждого значения функции.
Ответ: (-5; +).

Для закрепления темы решения неравенств настоятельно рекомендуем посмотреть наше видео по теме:

На этом пока всё….Надеюсь появилось понимание о том, как решить неравенства. Если всё же остались какие то вопросы по решению неравенств, смело задавайте их в комментариях.
Спасибо