Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.

Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log_ab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения log_ab = x, что равносильно a^x = b, поэтому log_aa^x = x.

Логарифмы, примеры:

log₂8 = 3, т.к. 2³ = 8

log₇49 = 2, т.к. 7² = 49

log₅1/5 = -1, т.к. 5^-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log₁₀100 = 2, т.к. 10² = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

• Основное логарифмическое тождество
  a ^log_ab = bПример.

  8^2log₈3 = (8^2log₈3)² = 3² = 9

• Логарифм произведения равен сумме логарифмов

  log_a (bc) = log_ab + log_acПример.

  log₃8,1 + log₃10 = log₃ (8,1*10) = log₃81 = 4

• Логарифм частного равен разности логарифмов
  log_a (b/c) = log_ab — log_acПример.

  9 ^log₅50/9 ^log₅2 = 9 ^{log₅50- log₅2} = 9 ^log₅25 = 9 ² = 81

• Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифмаПоказатель степени логарифмируемого числа log_ab ^m = mlog_ab

  Показатель степени основания логарифма log_aⁿb =1/n*log_ab

  log_aⁿb ^m = m/n*log_ab,

  если m = n, получим log_aⁿb ⁿ = log_ab

  Пример.

  log₄9 = log_2²3 ² = log₂3

• Переход к новому основанию
  log_ab = log_cb/log_ca,если c = b, получим log_bb = 1

  тогда log_ab = 1/log_ba

  Пример.

  log_0,83*log₃1,25 = log_0,83*log_0,81,25/log_0,83 = log_0,81,25 = log_4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: «Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах». Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.